Koliyi Tasarlamak

Geçen yazı her mağazaya bir beden eğrisi verdi. Bu yazıda o eğrilerle koliyiBedenleri sabit oranda karışık, kapalı paket. Lumoda'da yedi adet, beden sırasıyla 1-2-2-1-1; tek bedenli aksesuarda altı adet. Toplaması ucuzdur ama beden ihtiyacına tam uymaz. (asorti koli, İngilizcede prepack) tasarlıyoruz. Üç karar var: kaç koli tipi kurulacak, her tipin içinde hangi bedenden kaç adet olacak ve hangi mağazaya hangi tip gidecek. Bir de sınır var: depoda her bedenden ne kadar mal olduğu.

Kod yine vakalar/beden-paket/ altındaki çalışan koddan geliyor, sayılar vakanın raporundan. Kodda koli “paket” diye geçiyor; bir koli tipinin beden içeriğine “desen” deniyor, koli tipi sayısı da K. Bir koli deseni 1-2-2-1-1 gibi beş sayıdır: beden sırasıyla adetler.

Üç karar ve bir sınır

Malın miktarı bu dizide değişmiyor. Her mağaza her option’dan, Lumoda’nın ilk dağıtımında aldığı kadar koli alıyor; yalnız kolinin içi değişiyor. Bunu beşinci yazıda “aynı mal” diye açacağız. Tasarım açısından anlamı şu: her mağazanın kaç koli alacağı baştan belli ve bu sayı mağazanın tasarımdaki ağırlığı. Çok koli alan mağazanın kolisi yanlışsa yanlış da çok olur.

Koli yedi adet. İlk yazıda saydık: yedi adeti beş bedene bölmenin 330 yolu var. Ortadaki üç bedenin her kolide en az bir adetle bulunmasını şart koşuyoruz. Bir koli o üç bedenden birini hiç taşımazsa mağazaya kırık bir setle varır; müşteri ortadaki bir bedeni rafta bulamaz. Bu şartla 70 aday kalıyor:

# beden_paket/paket_tasarim.py
def adaylar(adet: int = sabitler.PAKET_ADET) -> np.ndarray:
    B = sabitler.BEDEN_SAYISI
    cekirdek = np.zeros(B, dtype=np.int64)
    cekirdek[[b - 1 for b in sabitler.CEKIRDEK_BEDENLER]] = 1
    kalan = adet - int(cekirdek.sum())
    if kalan < 0:
        raise ValueError(f"{adet} adetlik pakete çekirdek bedenler sığmaz")
    satirlar = []
    for cubuk in combinations(range(kalan + B - 1), B - 1):     # yıldız ve çubuk
        sinir = (-1,) + cubuk + (kalan + B - 1,)
        satirlar.append(tuple(sinir[i + 1] - sinir[i] - 1 for i in range(B)))
    return np.array(sorted(satirlar), dtype=np.int64) + cekirdek

Ortadaki üç bedene birer adet önceden konuyor; kalan dört adet beş bedene her yolla dağıtılıyor. On iki adetlik kolide aynı fonksiyon 715 aday üretiyor.

Yanlış bedende duran adet

Bir koli bir mağazaya ne kadar uyuyor? İlk yazıda Pars bunu adetle anlatmıştı: kolideki adetlerin kaçı mağazanın eğrisine göre yanlış bedende duruyor?

# beden_paket/paket_tasarim.py
def uyumsuzluk(paket, egri_satiri, agirlik: float = 1.0) -> float:
    """Beklenen eksik adet: ağırlık × Σ_b max(0, a × eğri_b − paket_b), a = paket adedi (modül
    notu)."""
    p = np.asarray(paket, dtype="float64")
    e = np.asarray(egri_satiri, dtype="float64")
    return float(agirlik * np.round(np.maximum(0.0, p.sum() * e - p).sum(), 12))

Mağazanın eğrisi yedi adetin her bedene ne kadarını istediğini söylüyor. Büyük profilli bir mağaza dördüncü bedende yedi adetin ikisinden fazlasını istiyor, Lumoda’nın kolisi bir tane taşıyor; aradaki fark o bedende eksik kalan adet. Bütün bedenlerin eksiği toplanınca kolinin beklenen eksik adedi çıkıyor. Eksik ile fazla birbirini tutuyor: bir bedende eksik kalan her adet başka bir bedende fazla duruyor. O yüzden aynı sayı yanlış bedende duran adet.

— Bu ilk yazıdaki L1 uzaklığından farklı mı? diyor Ali.

— Aynı sıralamayı veriyor, diyor Pars. Eksik adet, kolinin adedi çarpı L1 uzaklığının yarısı. İki koliden hangisinin daha iyi olduğunu ikisi de aynı söyler. Ama adet toplanabilir: mağazanın koli sayısıyla çarpıp bütün mağazalarda toplayınca zincirin ilk dağıtımında yanlış bedende duran malı buluyorum.

Ölçüyü sonuçları görmeden seçtik ve değiştirmedik. Kodun notunda bir gerekçe daha var: logaritmalı ölçüler, birinci ya da beşinci bedene hiç adet koymayan bir kolide tanımsız kalır.

Yetmiş adayın hepsi

K tipli bir tasarım, 70 adaydan K tanesini seçmek demek. Seçilen tipler belli olunca atama kolay: her mağaza o tiplerden kendi eğrisine en az eksik bırakanı alır. Zor olan tipleri seçmek. Yedi adetlik kolide bütün seçenekleri tek tek denemek mümkün:

# beden_paket/paket_tasarim.py
def _kumeler(C: np.ndarray, K: int):
    """K'lı bütün aday kümeleri sözlük sırasında, parça parça: (küme [c, K], kısıtsız toplam [c])."""
    CT = C.T
    it = combinations(range(C.shape[1]), K)
    while True:
        blok = np.fromiter(chain.from_iterable(islice(it, _PARCA)), dtype=np.int64)
        if blok.size == 0:
            return
        blok = blok.reshape(-1, K)
        yield blok, CT[blok].min(axis=1).sum(axis=1)


def _tam(C: np.ndarray, K: int) -> np.ndarray:
    """K'lı bütün aday kümelerinin tam taraması (sözlük sırası); en iyi küme [K]."""
    en_iyi, secilen = np.inf, None
    for blok, toplam in _kumeler(C, K):
        enk = toplam.min()
        if secilen is None or not _esit_ya_da_kucuk(en_iyi, enk):
            i = int(np.flatnonzero(toplam <= enk + _ESITLIK * max(1.0, abs(enk)))[0])
            en_iyi, secilen = float(toplam[i]), blok[i]
    return secilen

C bir tablo: her mağaza için her adayın eksik adedi, mağazanın koli sayısıyla çarpılmış. Bir aday kümesinin değeri, her mağazanın o kümedeki en iyi adayının değerlerinin toplamı. _kumeler bütün K’lı kümeleri sırayla üretiyor, _tam en küçük toplamlıyı tutuyor. Eşitlikte sözlük sırasında ilk küme kalıyor; aynı girdi hep aynı tasarımı veriyor.

Kaç küme taranıyor? Kodun notu söylüyor:

beden_paket/paket_tasarim.py (modül notu)

  … 7'li pakette K = 4'te C(70, 4) = 916.895 küme: tam arama, `en_iyi_mi = True`. Küme sayısı
  `TAM_ARAMA_SINIRI`'nı aşarsa (ör. 12'li pakette K = 3) dönüşümlü arama …, `en_iyi_mi = False`.

# beden_paket/paket_tasarim.py
TAM_ARAMA_SINIRI = 2_000_000    # tam aramada taranacak en çok aday kümesi

On iki adetlik kolide 715 aday var ve üç tipli kümelerin sayısı bu sınırı çok aşıyor. Orada kod dönüşümlü bir aramaya geçiyor: tipleri seç, her mağazayı en iyi tipe ata, her tipi kendi mağazalarına en iyi uyan adayla değiştir ve hiçbir şey değişmeyene kadar sürdür. Mağaza Kümeleme’deki k-means’e benziyor. Bu arama en iyiyi bulduğunu kendi başına kanıtlayamaz. Ama bir alt sınır var: her mağazanın 715 aday içinden kendi en iyi kolisini aldığı mağazaya özel tasarım. Hiçbir K’lı tasarım ondan iyi olamaz. Dönüşümlü arama o sınıra ulaşırsa en iyiyi bulmuş demektir. On iki adetlik kolide üç tipte ulaşıyor.

Kod bir şeyi daha sayıyor: kullanılan tipler. Dört tip isteyip üçünün yettiğini görürseniz tasarım üç tiple döner. Sonuçlarda bunun önemi birazdan görünecek.

Depo

Koliler ne kadar iyi olursa olsun, depoda olmayan malı gönderemezler. Tasarımın son şartı bu:

beden_paket/paket_tasarim.py (modül notu)

    Σ_m w_m × p_{a(m), b} ≤ depo_payi_b × a × Σ_m w_m

yani `depo_payi_b` = depodaki b adedi / ilk dağıtımda giden toplam adet (a × Σ w); toplamı 1'den
büyük olabilir (depoda kalan mal).

# beden_paket/paket_tasarim.py (tasarla)
depo_uygun = depo_asimi = None
if depo_payi is not None:
    cap = depo_payi * adet * w.sum()
    if _asim(w, A, secim, cap).any():
        yontem = "mip"
        secim, en_iyi = _kisitli(C, w, A, cap, kume_k, tohum)
    depo_asimi = _asim(w, A, secim, cap)
    depo_uygun = not depo_asimi.any()

Her bedende mağazalara giden adet, depodaki adedi aşamaz. Arama önce kısıtsız en iyi tasarımı buluyor. O tasarım depoya sığıyorsa iş bitiyor, çünkü kısıt bir tasarımı ancak kötüleştirebilir. Sığmıyorsa karışık tamsayılı bir modele geçiyor: önce depoyu aşan adedi en aza indiriyor, sonra o aşımla yanlış bedendeki adedi.

Depodaki malı nereden biliyoruz? Karar anında elde ilk siparişin beden adetleri var. Malın bir kısmı teslimde kalite kontrolünden geçemiyor ve düşülüyor; ama teslimlerin çoğu karar gününden sonra geliyor. Tasarım bu yüzden karar anında bilinen sipariş adedinden kuruluyor; hatalı malın düşüldüğü depo yalnız sonradan denetim için kullanılıyor. Bu veride iki tanım aynı tasarımları veriyor.

Birinci bedende depo tam sınırda. Yedi adetlik kolinin giden adedine göre birinci bedenin depo payı siparişle 0,1454, hatalı mal düşülünce 0,1429; yani yedide bir. Lumoda’nın her kolisi birinci bedenden bir adet taşıyor ve depoda o bedenden tam bu kadar mal var. Yedi adetlik tasarımların hepsi de birinci bedene her kolide bir adet koyuyor; depoyu tam dolduruyorlar, aşmıyorlar.

Bu veride depo kısıtı hiçbir tasarımda bağlamıyor; kısıtsız en iyi tasarım zaten depoya sığıyor. Yine de kısıtın neye benzediğini gösteren bir örnek var. Lumoda’nın kolisini on iki adete büyütmek isteseydik birinci bedene iki adet koymamız gerekirdi: on ikide iki, 0,1667. On iki adetlik kolların gönderdiği adede göre depo 0,1428 veriyor; yine yaklaşık yedide bir. O koli kurulamıyor. Beşinci yazıda bunun ne demek olduğuna döneceğiz.

Kısıtı bütün option’ların toplamında uyguluyoruz, option option değil. Bedeli: tek bir option’da depo yetmeyebilir. Simülasyondan önce option option bir denetim yapılıyor; hiçbir tasarımda 193 option’dan biri bile aşmıyor.

Kaç koli tipi

Şimdi asıl soru. Rapor her K için en iyi tasarımı ve koli başına eksik adedi basıyor:

Lumoda’nın satırı dışında bütün tasarımlar kanıtlı en iyi.

Yedi adetlik kolide kazanç ikinci tipte bitiyor. Üç tip, dört tip, hatta her mağazaya kendi en iyi kolisi; hepsi aynı iki deseni veriyor.

— Dört tip istesem? diyor Pelin.

— Yine iki tane alırsın, diyor Pars. 69 mağazanın her birine kendi en iyi kolisini seçtim. Yalnız iki farklı koli çıktı.

Sebebi yedi adetin kabalığı. Orta profilin eğrisi ile büyük profilinki birbirinden belirgin biçimde ayrı, ama yedi adete indirince ikisinin en iyi kolisi aynı: 1-1-2-2-1. Aradaki fark bir adetin altında kalıyor ve koliye sığmıyor. İki tipli tasarım mağazaları şöyle bölüyor:

Kolilerin %60,2’si 1-1-2-2-1, %39,8’i 1-2-2-1-1.

— Küçük bedene kayık mağazalara bizim koli gidiyor, diyor Pelin. Yıllardır kullandığımız koli.

— Kötü bir koli değil, diyor Pars. Yalnız bütün mağazalara gidiyor.

On iki adetlik kolide pay inceliyor ve her profil kendi kolisini alıyor: büyük profile 1-2-3-4-2, ortaya 1-3-4-3-1, küçüğe 2-3-4-2-1. Mağazaya özel tasarım da yine bu üç desende kalıyor; dördüncü tip bir şey katmıyor. Tek tip istenirse orta profilin kolisi bütün zincire gidiyor.

Tablonun son sütunu iki koli büyüklüğü arasında doğrudan karşılaştırılamaz: on iki adetlik kolide yanlış bedende duracak adet de fazladır. Kıyas için kolinin taşıdığı beden payına bakmak gerekiyor. Aşağıdaki tablo, mağazalara giden malın beden payının iki eğriye uzaklığı; mağazanın aldığı koli sayısıyla ağırlıklı ortalama L1. İlk sütun cevap anahtarıyla, ikincisi geçen yazının tahmin ettiği eğriyle.

İki şey göze çarpıyor. Birincisi, bu tasarım ölçüsünde koli tipi sayısı koli büyüklüğünden daha çok iş görüyor: yedi adetlik iki tip, on iki adetlik tek tipten çok daha yakın. İkincisi, en iyi tasarım bile gerçek talepten 0,1085 uzak. Koli bir ortalama taşıyor; mağazanın kendi eğrisine hiçbir zaman tam oturmuyor.

Bir uyarıyı da şimdiden yapayım. Buradaki sayılar bir tasarım ölçüsü, rafın kendisi değil ve simülasyon birinci gözlemi tersine çeviriyor. On iki adetlik tek tip, yedi adetlik iki tipten ilk dört haftanın üç ölçütünde de, sezonun brüt kârında da daha iyi çıkıyor. İlk dört haftada beden kaybı payı %48,46’ya karşı %56,48, bulunabilirlik %97,09’a karşı %96,64; brüt kâr 541.634.844 TL’ye karşı 540.277.650 TL. On iki adetlik kolide üç koli tipi, tek tipe göre tasarım ölçüsünde açıkça kazandırıyor, ama ilk dört haftanın beden kaybını azaltmıyor, biraz artırıyor. Beşinci yazıda her kazancı kendi ölçütüyle söyleyeceğiz.

Bir koli tipinin maliyetini de tasarıma koymadık. Tedarikçinin her tip için ayrı dolum talimatı, deponun her tip için ayrı rafı var; bunlar zincirden zincire değişiyor ve uydurulmuş bir sayıyla gösterilirse yanıltır. Tablo eğriyi okura bırakıyor: ikinci tipin getirdiği sizin maliyetinizden fazla mı?

Atama ne kadar doğru

Tasarım mağazaları tahmin edilen eğriye göre atıyor. Cevap anahtarı bilinseydi atama ne kadar değişirdi? İki tipli tasarımın desenlerini koruyup her mağazayı gerçek talebine göre yeniden atadık.

Yalnız bir mağaza yer değiştiriyor: İzmir 2. Geçen yazıda gördük; eğrisi olmadığı için büyük profili aldı ve 1-1-2-2-1’e atandı. Gerçek talebine göre 1-2-2-1-1 almalıydı. Gerçek talebe göre yanlış bedendeki adet 66.440,6’dan 64.833,8’e iniyor, −%2,4. İzmir 2 kolilerin %2,1’ini alıyor. Eğrisi okunabilen 68 mağazanın hepsi zaten doğru kolide. Bu yüzden cevap anahtarıyla atanan bir kolu simülasyonda ayrıca koşmadık; fark tek mağazalık.

Beden ve satış karışımı

Mağazaları beden profiline göre üç gruba ayırdık. Mağaza Kümeleme dizisinde aynı mağazaları satış karışımına göre beş kümeye ayırmıştık. İki gruplama birbirine benziyor mu?

— Benziyorsa işimiz kolay, diyor Veli. Pelin planı kümeye göre kuruyor, koliyi de kümeye göre kurarız.

Benzemiyor. Satış kümelerinin en büyüğünde, küme 0’da, üç profilden 11’er mağaza var. İki gruplamanın ARI’si −0,014. Mutlak değeri 0,05’in altındaki bir ARI’yi bağımsız sayıyoruz; bu sınırı anlatı için biz koyduk. Mağazanın ne sattığı ile müşterisinin hangi bedeni giydiği, Lumoda’da iki ayrı soru.

Mağaza Kümeleme dizisinin dördüncü yazısında satış karışımına beden eğrisini ve mevsimselliği eklediğimizde kümeler cevap anahtarından uzaklaşmıştı. O yazıda bu iki bloğun müşteri profilinden başka bir şeye göre ayrıştığını söylemiştik. Bu tablo, beden eğrisinin satış karışımından bağımsız olduğunu gösteriyor; büyük ihtimalle kümeleri çeken şeylerden biri de bedenin kendi ekseniydi.

— Yani iki ayrı etiket, diyor Pars. Bir mağazanın planı satış kümesinden, kolisi beden profilinden gelir. Birini ötekinin yerine koyarsan ikisini de bozarsın.

Sizin verinizde zor olan

Birincisi koli tipinin bedeli. Tedarikçi kaç tipe razı olur, deponun her tip için elleçleme bedeli ne kadar? Bu yazıda hiçbirini fiyatlamadık. Sizin zincirinizde eğrinin hangi noktasında durulacağını bu iki sayı belirler.

İkincisi beden setleri. Lumoda’da bir mağaza bütün beden setlerinde aynı deseni alıyor, çünkü verinin kurgusunda bir mağazanın kayması kategoriden bağımsız. Koli tipi sayısı da bu yüzden bütün setlerde ortak desen sayısı. Gerçekte bir mağazanın kot pantolon eğrisi ile tişört eğrisi ayrı olabilir. O zaman tip sayısı set sayısıyla çarpılır ve her setin tasarımı daha az mağazayla kurulur.

Üçüncüsü depo. Bu veride kısıt bağlamadı ve onu toplamda uyguladık. Alımı option option değişen bir zincirde depo, bazı option’larda kolinin istediği bedeni taşımayabilir; tasarım o zaman option başına kurulmalı.

Dördüncüsü ölçecek bir cevap anahtarının olmaması. Burada atamanın doğruluğunu anahtarla sınayabildik ve yalnız yeni mağazanın yanlış olduğunu gördük. Sizin elinizde tahmin edilen eğriye uzaklık olacak; o da eğri kadar iyi.

Sonraki yazıda bu kolileri İlk Sevkiyat’ın dünyasına gönderiyoruz: aynı mal, aynı mağazalar, yalnız başka koliler. Rafta ne değişiyor?