Teknik

Matematiksel Model

Kümeler, parametreler, ikili karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlar.

Matematiksel model bölümü, çoğu yazıda okuyucunun kaydırıp geçtiği yerdir. Sembol görünce insanın içinden “bunu anlamak için matematikçi olmak lazım” demek gelir. Bu bölümü atlamayın, çünkü burada yeni bir şey yok. Bir önceki yazıda Ali beyaz tahtaya bir terazi çizmişti: bir kefede alıcıda kazanılacak satış, öbür kefede vericide kaybedilecek satış artı taşıma masrafı. Aşağıdaki her sembolün o tahtada bir karşılığı var. Yaptığımız tek şey teraziyi çözücünün okuyabileceği dilde yazmak.

Bir sözüm var: her formülden sonra o formülün Türkçesini de yazacağım. İkisi uyuşmuyorsa formül yanlıştır, Türkçe değil.

Buradaki model uydurma değil; vakalar/blok-transfer/ altındaki çalışan kodun birebir kendisi. Aşağıdaki bütün sayılar da Lumoda’nın sezon kapanışındaki gerçek stok fotoğrafından çıktı.

Kümeler ve indisler

Üç küme var. İlk ikisi tahmin edeceğiniz gibi:

\begin{aligned} M &= \{1, \dots, 25\} && \text{mağazalar} \\ O &= \{1, \dots, 240\} && \text{option'lar} \end{aligned}

Üçüncüsü bu modelin en önemli parçası — ve çoğu anlatımda es geçilen yer:

A \subseteq \{(i, j, o) : i, j \in M,\; i \neq j,\; o \in O\}

$A$ aday kümesidir: ” $i$ mağazasındaki $o$ option’ının bloğu $j$ mağazasına gidebilir mi?” sorusunun sorulmaya değer olduğu üçlüler. Sorulmaya değer olmayanlar buraya hiç girmez.

Neden önemli olduğunu sayılar söylüyor. Kısıtsız üçlü sayısı:

25 \times 24 \times 240 = 144{,}000

Gerçek aday sayısı — orta senaryoda, yani vericide coverMevcut stoğun satış hızına bölünmesiyle bulunan yeterlilik süresi; kaç haftalık satışı karşılayacağını söyler. eşiği 6 hafta ve alıcıda asgari haftalık satış 1 adet iken: 664.

Yüz kırk dört binden altı yüz altmış dörde. Bu düşüşü yapan şey modelin kısıtları değil; kümenin tanımı. Verici olabilmek için stok bulunması, cover’ın eşiği geçmesi ve o rafın soğumada olmaması gerekiyor. Alıcı olabilmek için setin kırıkBir option'ın beden setinin bozulması; ara bedenler tükenmiş, uçlar rafta kalmıştır. ya da stoğun sıfır olması, üstüne satış hızının eşiği geçmesi gerekiyor. Outlet line’ındaki bir option’ın vitrin mağazasına gitmesi ise ticaretin yasağı. Ali’nin tahtaya yazdığı ikinci sayı, yani alıcıdaki azami cover, bu kümenin üçüncü kapısıdır (satıyor ama eldeki mal tavanın altında kalıyor); bu yazının bütün sayıları o kapı kapalıyken, alıcı yalnız kırık ya da stoksuz olabilirken çıktı.

Bunların hepsini çözücüye kısıt olarak da yazabilirdik. Yazmadık, çünkü o zaman 144.000 değişkenli bir model kurup çözücüden bunların 143.336’sını “zaten imkânsız” diye elemesini beklerdik. Bu yazının en pratik cümlesi şu olabilir: modelin en önemli kısmı çoğu zaman yazmadığınız kısıtlardır. İş bilgisi modele kısıt olarak değil, kümenin tanımı olarak girdiğinde model küçülür ve okunur kalır.

Parametreler

Hepsi veriden ya da parametreler.py’den geliyor; hiçbiri elle yazılmış sihirli sayı değil:

Sembol	Anlamı	Değer / kaynak
$s_{io}$	$i$ mağazasındaki $o$ option’ının stoğu	Stok fotoğrafı
$v_{io}$	Haftalık satış hızı	Son 8 stoklu haftanın ortalaması
$f_o$	Option’ın liste fiyatı	Ürün master’ı
$H$	Planlama ufku	8 hafta
$c$	Adet başına taşıma maliyeti	25 TL
$R$	Rota başına sabit maliyet	500 TL
$K$	Minimum koli	6 adet
$Q_j$	$j$ mağazasının kapasite boşluğu	Kapasite − mevcut stok

$v_{io}$ ‘nun tanımındaki “stoklu” kelimesi kalın yazılmayı hak ediyor. Bir önceki yazıda Pelin’in bulduğu tuzak buydu: raf boşken geçen haftaları da ortalamaya katarsanız, stoksuz kaldığı için satamamış bir ürünü “yavaş satan ürün” ilan edersiniz. Hız yalnız malın rafta olduğu haftalardan ölçülür.

Karar değişkenleri

İki tane. Birincisi işin kendisi:

x_{ijo} \in \{0, 1\}, \quad (i,j,o) \in A

Türkçesi: $i$ ‘deki $o$ bloğu $j$ ‘ye taşınsın mı, taşınmasın mı? Kesir yok — bloğun yarısı diye bir şey yok. Blok bölünmez, çünkü bölünen şey beden setidir.

İkincisi ilk bakışta gereksiz görünür:

y_{ij} \in \{0, 1\}, \quad (i,j) \in \text{rotalar}(A)

Türkçesi: $i$ ‘den $j$ ‘ye bu hafta bir sevkiyat açılıyor mu? Neden ayrı bir değişken? Çünkü taşımanın iki tür maliyeti var. Adet başına olan kısmı ( $c \cdot s_{io}$ ) zaten $x$ ile ölçeklenir. Ama koli kaldırmanın, aracı yollamanın, karşı tarafın mal kabulünü açmasının bedeli adede değil, çifte bağlıdır: aynı iki mağaza arasında bir option da taşısanız beş option da taşısanız o masraf bir kez ödenir. Bunu $x$ ile ifade edemezsiniz; rotanın kendisine ait bir değişken gerekir.

Modelin gerçekten incelikli tek yeri burasıdır ve sonuçları da oradan çıkar: $y$ olmadan model her hareketi tek başına değerlendirir, $y$ ile birlikte hareketleri birleştirmeyi öğrenir.

Amaç fonksiyonu

Önce tek bir adayın terazisi. Üç parça:

\begin{aligned} \text{kazanç}_{ijo} &= \min(s_{io},\; v_{jo} \cdot H) \cdot f_o \\ \text{kayıp}_{ijo} &= \min(s_{io},\; v_{io} \cdot H) \cdot f_o \\ \text{taşıma}_{io} &= c \cdot s_{io} \end{aligned}

Türkçesi sırayla: alıcı bu bloğu ufuk içinde ne kadar satabilirse o kadar kazanırız — ama elindeki stoktan fazlasını satamaz, o yüzden minimum. Vericiden aldığımızda onun satacağı kadarını kaybederiz — aynı sebeple yine minimum. Taşıma adet başınadır.

Net ağırlık ikisinin farkı eksi masraf:

w_{ijo} = \text{kazanç}_{ijo} - \text{kayıp}_{ijo} - \text{taşıma}_{io}

Ve amaç:

\max \sum_{(i,j,o) \in A} w_{ijo} \, x_{ijo} \;-\; R \sum_{(i,j)} y_{ij}

Türkçesi: seçtiğin hareketlerin net faydasını topla, açtığın her rota için sabit masrafı düş, kalanı büyüt. Tahtadaki terazinin tamamı bu satırda.

Kısıtlar

Dört tane, hepsi bir iş kuralının doğrudan çevirisi.

1. Blok tek hedefe gider.

\sum_{j} x_{ijo} \le 1 \qquad \forall i \in M,\; o \in O

Bir mağazadaki bir option’ın stoğu en çok bir yere gönderilebilir. Aynı bloğu ikiye bölüp iki mağazaya dağıtmak bu sürümün kapsamı dışında; sebebini aşağıda yazıyorum.

2. Alıcı kapasitesi aşılmaz.

\sum_{(i,o)} s_{io} \, x_{ijo} \le Q_j \qquad \forall j \in M

Bir mağazaya boşluğundan fazla mal gönderemezsiniz. Deponun ve rafın sonu vardır.

3. Rota açılmadan taşıma olmaz.

x_{ijo} \le y_{ij} \qquad \forall (i,j,o) \in A

Bir hareket varsa o çift arasında sevkiyat açılmış demektir. Bu kısıt $y$ ‘yi dürüst tutar: model bedava rota kullanamaz.

4. Açık rota koliyi doldurur.

\sum_{o} s_{io} \, x_{ijo} \ge K \, y_{ij} \qquad \forall (i,j)

Sevkiyat açtıysan en az minimum koli kadar mal taşı. İki adet için kamyon kaldırılmaz. Dikkat: bu kısıt üçüncüsüyle birlikte çalışır — üçüncüsü “rota açılmadan hareket olmaz” der, dördüncüsü “rota açıldıysa boş gitmez” der. İkisi birden, modeli küçük hareketleri aynı rotada toplamaya zorlar.

Ölçek: 1.058 değişken, 1.347 kısıt

Orta senaryoda modelin gerçek boyutları şöyle:

Parça	Sayı
$x$ değişkeni (aday hareket)	664
$y$ değişkeni (rota)	394
Toplam ikili değişken	1.058
Blok tekliği kısıtı	264
Kapasite kısıtı	25
Rota bağlama kısıtı	664
Minimum koli kısıtı	394
Toplam kısıt	1.347

Şimdi şu 1.058 sayısına bakalım. Her değişken 0 veya 1 olabildiğine göre olası atama sayısı $2^{1058}$ — yaklaşık $10^{318}$ . Gözlemlenebilir evrendeki atom sayısı kabaca $10^{80}$ olarak tahmin ediliyor. Yani bu küçük zincirin tek bir haftalık transfer kararı, kaba kuvvetle denenmek istense, evrendeki bütün atomlara birer bilgisayar verseniz bile bitmez.

Çözücünün (CBC) bu modeli çözme süresi: ~0,4 saniye.

Bu iki cümle yan yana durunca insanın aklına ilk gelen şey “bir yerde hata olmalı” oluyor. Yok. Çözücü kombinasyonları saymıyor. Önce problemi gevşetiyor — $x$ ‘lerin 0 ile 1 arasında kesirli olmasına izin veriyor, ki bu hâli hızlı çözülen bir doğrusal program. Çıkan sayı gerçek en iyi çözümün üst sınırıdır. Sonra kesirli çıkan bir değişkeni seçip iki dal açıyor (“bu sıfır olsun” / “bu bir olsun”), her dalda üst sınırı yeniden hesaplıyor ve bir dalın üst sınırı eldeki en iyi çözümden kötüyse o dalın tamamını — milyarlarca kombinasyonu — tek hamlede çöpe atıyor. Adı dal-sınır. Bir önceki yazıda Ali’nin “altı bin kere teraziyi kuramam” dediği yerin cevabı budur: kimse kurmuyor, çözücü bakmadan eliyor.

Bu modelin orta senaryodaki çıktısı 252 option’ın taşınması, toplam 4.785 adet. Sonraki iki yazıda bu sayının nasıl elde edildiğini iki ayrı yoldan göreceğiz.

Varsayımlar ve bu model nerede yetmez

Dürüst olmak lazım; yukarıdaki temizlik gerçek hayatın kendisi değil, sadeleştirilmiş hâli.

$w$ kâr değil, brüt ciro etkisidir. Kazanç ve kayıp liste fiyatıyla hesaplanıyor, alış maliyeti düşülmüyor. Yani model “bu transfer ne kadar ciroyu yer değiştirir” sorusunu cevaplıyor, “ne kadar kâr eder” sorusunu değil. Sıralamayı çok bozmaz — aynı ürünün marjı iki mağazada da aynıdır — ama sonuç yazısındaki TL rakamlarını okurken bunu akılda tutun: onlar kâr değil, hareket eden ciro. Marja çevirmek veri setinde mümkün; bilinçli olarak sonraki sürüme bıraktık.

Blok bölünmez. Bir mağazadan alınan stok tek hedefe gider. Bunu ikiye bölmek matematikte kolay görünür ama iki yeni sorun doğurur: hangi bedenler kime, ve iki yarım set bir tam setten daha mı iyi? O ayrı bir transfer türü ve kendi yazısını hak ediyor.

Ufuk sabit 8 hafta. Veri setinde sezon kodu ve indirim takvimi yok. Yazı 2’deki “raf ömrü kadranı” — sezon sonu yaklaştıkça terazinin taşımaya yatması — bu yüzden modelde yok. Gerçek bir kurulumda $H$ option başına değişir ve indirim tarihine bağlanır.

Soğuma yalnız depo sevkiyatından görülüyor. Mağazalar arası geçmiş transferler veride tutulmuyor; dolayısıyla “geçen hafta zaten oradan almıştık” kuralı tam sınanamıyor.

Talep sansürlü ölçülüyor. $v_{jo}$ ‘yu gözlenen satıştan hesaplıyoruz ama kırık setli bir mağazanın gerçek talebi ölçtüğümüzden yüksektir. Yani en çok yardıma muhtaç mağaza, modelin gözünde olduğundan biraz daha sönük görünür. Bunu düzeltmeye çalışmadık; düzeltmek tahmin üstüne tahmin kurmak olurdu ve modelin nereye dayandığını bulanıklaştırırdı.

Kapasite adet bazlı. Metrekare, reyon ve askı kapasitesi ayrı ayrı modellenmiyor.

Bir sonraki yazıda bu modeli hiç kurmadan, yalnız SQL ve bir sıralama kuralıyla probleme saldıracağız — sektörde bu iş çoğunlukla öyle yapılıyor çünkü. Sonra ikisini yan yana koyacağız. Şunu şimdiden söyleyeyim, çünkü sonucun kendisi bu dizinin en ilginç bulgusu: aradaki fark yüzde 0,6 🙂